A derékszögű háromszög

A játékfejlesztés vagy még általánosabban a számítógépes grafika bizonyos szempontból a geometria és a programozás találkozásánál helyezkedik el, ezért érdemes tisztában lennünk a legalapvetőbb geometriai összefüggésekkel.

Nézzük most át a derékszögű háromszögek matematikáját és felhasználásait a játékfejlesztésben!

Egy derékszögű háromszögöt a következő információk írnak le:

Az a befogó hossza
A b befogó hossza
A c átfogó hossza
Az a befogóval szembeni α (alfa) szög
A b befogóval szembeni β (béta) szög

Ezen információkból, ha kettőt tudunk könnyedén kiszámolhatjuk a másik hármat a következő összefüggésekkel. (Kivétel ez alól, ha csak α és β szögeket ismerjük. Ekkor még legalább egy oldalhosszra szükségünk van a másik oldalak kiszámításához.)

A háromszög belső szögeinek összege: 180°

Ez nem csak a derékszögű, de minden egyéb háromszög esetén is igaz. A derékszögű háromszög ennek csak egy speciális esete, ahol a háromból ez egyik szög garantáltan 90°, így a maradék kettőre összesen jut a másik 90°.

α + β = 90°

β = 90° - α

α = 90° - β

Pitagorasz-tétel

Az egyik alapvető összefüggés, amit a derékszögű háromszögekkel kapcsolatban használunk, a Pitagorasz-tétel, amely a háromszög oldalainak hossza közti kapcsolatot mondja ki. A tétel szerint a derékszögű háromszög átfogójának négyzete egyenlő a két befogó négyzetének összegével.

c^2=a^2+b^2

Az egyenlet átalakítható úgy, hogy bármelyik oldalt meg tudjuk kapni a két másik alapján.

c = \sqrt{a^2+b^2}

a = \sqrt{c^2-b^2}

b = \sqrt{c^2-b^2}

Emlékezzünk, hogy Unity-ben a négyzetgyök-vonást a Mathf.Sqrt függvénnyel tudjuk megtenni szóval a fentiek a következőképp néznek ki C#-ban:

float c = Mathf.Sqrt(a*a + b*b);
float a = Mathf.Sqrt(c*c - b*b);
float b = Mathf.Sqrt(c*c - a*a);

Annak ellenére, hogy létezik hatványozó függvény Unity-ben, javaslom, hogy ilyen egyszerű esetben használjuk az szimplaszorzást. Olvashatóbb és optimálisabb is lesz a kód.

Trigonometriai függvények

6 trigonometriai függvény érdekel most minket: a szinusz, a koszinusz és a tangens valamint ezek inverz függvényei, az arkuszszinusz, az arkuszkoszinusz és az arkusztangens.

Szögfüggvény	Definíció	`Mathf` függvény
Szinusz	Egy szög szinusza = szöggel szemben lévő befogó / átfogó	`Mathf.Sin( )`
Koszinusz	Egy szög koszinusza = szög melletti lévő befogó / átfogó	`Mathf.Cos( )`
Tangens	Egy szög tangense = szöggel szemben lévő bef. / szög melletti bef.	`Mathf.Tan( )`

A fenti definíciók alapján felírhatók:

$a/c = sin(α)$

$b/c = sin(β)$

$b/c = cos(α)$

$a/c = cos(β)$

$a/b = tg(α)$

$b/a = tg(β)$

Tehát a fenti 3 trigonometriai függvény akkor hasznos nekünk, ha egy fokot és egy oldal ismerünk. Ezek alapján kiszámolható a másik két oldal hossza:

a befogó hossza:

$a = sin(α) · c$

$a = cos(β) · c$

$a = tg(α)·b$

$a = b/tg(β)$

b befogó hossza:

$a = sin(β) · c$

$b = cos(α) · c$

$b = a/tg(α)$

$b = tg(β) · a$

c átfogó hossza:

$c = a / sin(α)$

$c = b/sin(β)$

$c = a/cos(β)$

$c = b/cos(α)$

// Például az alábbi kóddal "alpha" szög és a "c" átfogó alapján kiszámolhatók a befogók
float a = Mathf.Sin(alphaInRad) * c;  // a oldal
float b = Mathf.Cos(alphaInRad) * c;  // b oldal

⚠️

Fontos!

A Unity trigonometriai függvényei radiánban várják a paramétert, nem fokban!

Tehát ha fokban ismertjük az alfa vagy a béta szöget először át kell váltani azt radiánba. Ehhez a Mathf.Deg2Rad szorzókonstans használhatjuk.

float a = Mathf.Sin(alphaInDeg * Mathf.Deg2Rad) * c;  // a oldal
float b = Mathf.Cos(alphaInDeg * Mathf.Deg2Rad) * c;  // b oldal

A szinusz függvény vizualizálva

Inverz trigonometriai függvények

Ahogy korábban láttuk, ha két oldalhosszt ismerünk, akkor a Pitagorasz-tétel segítségével kiszámolható a harmadik. Mit tehetünk akkor, ha viszont minket nem a harmadik oldal hossza érdekel, hanem a szögek? A korábban megismert szögfüggvények leírták már az összefüggést a szögek és oldalak közt, ám ez önmagában nem elég akkor, ha pont egy szög érdekel minket:

Pl.: Ismerjük a-t és c-t és ismerjük a kettő közti összefüggést: $a/c = sin(α)$ . Ez alapján ki tudjuk számolni α szinuszát, de nem α- magát. Ekkor kellenek az arkusz függvények, amikor egy szög szinusza, koszinusza vagy tangense alapján meg akarjuk kapni a fokot magát.

Szögfüggvény	Definíció	`Mathf` függvény
Arkuszszinusz	Egy szög szinuszának arkuszszinusza = A szög maga	`Mathf.Asin( )`
Arkuszkoszinusz	Egy szög koszinuszának arkuszkoszinusza = A szög maga	`Mathf.Acos( )`
Arkusztangens	Egy szög tangensének arkusztangense = A szög maga	`Mathf.Atan( )`

Tehát α és β szögek megkaphatók az oldalak alapján a következőképpen:

$α = arcsin(a/c)$

$α = arccos(b/c)$

$α = tg(a/b)$

$β = arcsin(b/c)$

$β = arccos(a/c)$

$β = tg(b/a)$

// Például az alábbi kóddal "alpha" és "béta" szögek az "a" és "c" oldalak alapján
float alphaInRad = Mathf.Asin(a/c);
float betaInRad = Mathf.Acos(a/c);

⚠️ Ne feledjük ⚠️ A Mathf könyvtár arkusz függvényei az eredményeket szintén radiánban adják. Ha a szögeket fokban szeretnénk megkapni, át kell váltanunk a Mathf.Rad2Deg szorzó segítségével.

float alphaInDeg = Mathf.Asin(a/c) * Mathf.Rad2Deg;
float betaInDeg = Mathf.Acos(a/c) * Mathf.Rad2Deg;

A derékszögű háromszög jelentősége a játékfejlesztésben

A 2 és 3D-ben történő programozás alapjait a vektorok képezik. A 2D vektor-ra viszont úgy is tekinthetünk, mint egy derékszögű háromszögre:

x és y komponensek a befogók, a vektor hossza az átfogó és a vízszintessel valamint a függőlegessel bezárt szögei a háromszög belső szögeivel egyeznek meg.

A fentiek alapján tehát sok esetben kiszámolhatunk egy szükséges vektort korlátolt információk alapján. Egy példa:

// Egy lövedék kezdő sebesség-vektora, az ágyú dőlésszöge és a kezdő sebesség alapján

float startSpeed = 10f;   // Derékszögű háromszög "c" átfogója
float gunAngle = 45f;     // A vízszintessel bezárt "alfa" szög

float x = Mathf.Sin(Mathf.Deg2Rad * gunAngle) * c; // alfával szmközti "a" oldal hossza
float y = Mathf.Cos(Mathf.Deg2Rad * gunAngle) * c; // alfa melletti "b" oldal hossza

Vector3 velocity = new Vector2(x,y);  // Kész is a vektpor

A következő fejezetekben egyéb valós példákat is megismerünk: Pl.: A virtuális kamera látótere

Ha feljebb lépünk a harmadik dimenzióba, akkor is felbontható egy vektor derékszögű háromszögekre a következőképpen:

Vegyük V vektort, amit az (x, y és z) értékek írnek le descartes koordináta rendszerben.

Vh = V vektor vízszintes komponense (Vetítése a vízszintes síkra)

|V| = V vektor hossza

Ekkor Vh és y, mint befogók és |V|, mint átfogó leír egy derékszögű háromszöget. (illusztráción sárga)

Emellett x, és z, mint befogók és Vh, mint átfogó szintén leír egy derékszögű háromszöget. (illusztráción lila)

Példa a felhasználásra: Célpontkövető kamera